by TheYoonicon 3월 21, 2018 0 comment

이산형 확률분포

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이산형 확률분포¹

이항분포 함수

#확률분포함수(x: 확률변수, size: 전체 표본 크기, prob: 성공확률)
dbinom(x, size, prob)

#누적분포함수(q: 분위수, lower.tail=TRUE: 아래로부터 누적)
pbinom(q, size, prob, lower.tail=TRUE)

#분위수 (p: 누적확률)
qbinom(p, size, prob, lower.tail=TRUE)

#이항 확률분포의 난수(n: 난수의 개수)
rbinom(n, size, prob)

* 베르누이분포(Bernoulli distribution)

성공확률이 일정한 1회의 시행에서 나오는 성공 횟수의 확률분포

$f(x) = p^x (1-p)^x ~~~~ x=0, 1$

초기하분포(hypergeometric distribution)

두 가지 특성(성공 r개, 실패 N-r개)를 갖는 개체들로 구성된 크기 N인 유한 모집단에서 일정한 개수(n)의 표본을 비복원추출 했을 때, ‘성공’의 개수를 X라 하면, X는 초기하분포를 따른다.

$X \sim HG(n, N, r)$

$f(x) = \binom{r}{x} \binom{N-r}{n-x} / \binom {N}{n}, ~~ max(0, n-N+r) \leq x \leq min(n,r)$

#확률분포함수(x: 표본 성공 개수, r: 모집단 성공 개체수, n: 모집단 실패 개체 수, k: 표본 개수)
dhyper(x, r, n, k)

#누적분포함수 (q: 분위수)
phyper(q, r, n, k, lower.tail=T)

#분위수(p: 누적확률)
qhyper(p, r, n, k, lower.tail=T)

#초기하 확률변수(nn: 난수 개수)
rhyper(nn, r, n, k)

포아송 분포

이항분포에서 시행횟수 $\small n$ 은 점점 증가시키고 성공확률 $\small p$ 는 점점 감소시키되 기댓값 $\small np$ 를 일정한 값으로 유지시키면 포아송분포를 얻는다.

$X \sim Poi(\lambda ) ~~~ \lambda = np$

$\lim_{n \rightarrow \infty }f(x) = \lim_{n \rightarrow \infty} \binom{n}{x}p^x (1-p)^{1-x}\\ = \lim_{n \rightarrow \infty } \frac{n!}{x!(n-x)!} p^x (1-p)^{1-x}\\ = \frac{1}{x!}\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{n!}{(n-x)!}(\frac{\lambda}{n})^x(1-\frac{\lambda}{n})^{n-x}\\ =\frac{\lambda^x}{x!}\lim_{n \rightarrow \infty }\frac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{n ^x} (1-\frac{\lambda}{n})^n / (1-\frac{\lambda}{n})^x$

앞의 식에서

$\frac{n(n-1)\cdots(n-x+1)}{n^x} \rightarrow 1,~ (1-\frac{\lambda}{n})^n \rightarrow e^{-\lambda},~(1-\frac{\lambda}{n})^x \rightarrow 1$

따라서

$\lim_{n\rightarrow\infty}f(x) = \lambda^x \frac{e^{-\lambda}}{x!}, ~ x=0, 1, 2, \cdots$

가 포아송분포의 확률분포함수가 된다.
포아송분포는 표본크기 $\small n$ 이 충분히 크고 성공확률 $\small p$ 가 충분히 작은 경우, 이항분포의 근사식으로 사용되기도 한다. 포아송분포를 따르는 확률변수의 예로는, 일정한 단위에서 발생하는 결점수, 특정 도로에서 하루동안 발생하는 교통사고횟수, 특정 전화기에 한 시간 동안에 걸려오는 전화통화 수, 한 주 동안에 특정 보험회사에서 접수되는 사망 보험금 청구건수, 특정 지역에서 하루 동안에 정전이 되는 횟수, 백과사전 한 페이지에 나타나는 오자의 수 등 다양하다. 다시 말해 포아송분포는 한정된 단위 시간이나 공간에서 발생하는 희소한 사건의 수를 표현하기에 적합하다.

#확률분포함수(lambda: 기댓값)
dpois(x, lambda)

#누적분포함수(q: 분위수)
ppois(q, lambda, lower.tail=T)

#분위수(p: 누적확률)
qpois(p, lambda, lower.tail=T)

#포아송 확률변수(n: 난수의 개수)
rpois(n, lambda)

기하분포

한 번의 시행에서 성공확률이 p인 경우, 첫 번째 성공이 발생할 때까지 시행하는 독립시행의 횟수를 X라 하면, 확률변수 X는 기하분포를 따른다.

$X \sim G(p)$

$f(x) = P(X=x) = (1-p)^{x-1}p, ~~ x = 1, 2,\cdots$

#확률분포함수(x: 실패 횟수, prob: 성공확률)
dgeom(x, prob)
#누적분포함수(q: 분위수, lower.tail=T: 아래로부터 누적) 
pgeom(q, prob, lower.tail=T)
#분위수(p: 누적확률)
qgeom(p, prob, lower.tail=T)
#기하 확률변수(n: 난수의 개수)
rgeom(n, prob)

음이항분포

기하분포의 개념을 보다 일반화해서 r번째 성공이 발생할 때까지 시행하는 독립시행의 횟수를 X라 하면, 확률변수 X는 음이항분포를 따른다.

$X \sim NB(p,r)$

$x$ 번째 시행에서 $r$ 번째 성공이 발생하려면 그 이전의 $x-1$ 번의 시행에서 $r-1$ 번의 성공이 나와야 하고 마지막 시행에서 성공이 나와야하기 때문이다.

$f(x) = P(X=x) = \binom{x-1}{r-1}p^rq^{x-r}, ~~ x=r, r+1, \cdots$

#확률분포함수(X: 실패횟수, size: 목표 성공 횟수, prob: 성공확률)
dnbinom(x, size, prob)
#누적분포함수(q: 분위수)
pnbinom(q, size, prob, lower.tail = T)
#분위수(p: 누적확률)
qnbinom(p, size, prob, lower.tail=T)
#음이항 확률변수(n: 난수의 개수)
rnbinom(n, size, prob)

* $X_1, X_2, \cdots, X_r$ 이 독립이고 동일한 기하분포를 따르는 확률변수일 때, $X=\sum_{i=1}^r X_i$ 의 분포는 음이항분포를 따른다. 그 이유는 $X_i$ 회 시행마다 한 번씩의 ‘성공’을 얻으므로 결국 마지막 $X_r$ 회의 시행에서 $r$ 번째 성공이 발생하기 때문이다.

임태진. R-확률통계. 생능출판사; 2016.

이산형 확률분포