정규분포

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정규분포

기댓값을 중심으로 대칭이며, 중심위치는 기댓값, 산포는 표준편차에 의해 결정되는 엎어놓은 종 모양의 분포

\dpi{100} f(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp[-\frac{(x-\mu)^2}{2 \sigma^2}], ~ -\infty<x<\infty

표준정규분포

기댓값이 0, 표준편차가 1인 정규분포를 표준정규분포라 한다. 표준정규분포의 확률밀도함수는 \dpi{100} \mu = 0,~ \sigma = 1 인 경우이다.

\dpi{100} \phi (z) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} exp [- \frac{z^2}{2}],~ -\infty<x<\infty

  • 누적확률: 표준정규분포에서 주어진 값 \dpi{100} y 이하의 확률
    \dpi{100} \Phi(y) = P(Z<y ) = \int_{-\infty}^y \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp[-\frac{z^2}{2}]dz
  • 분위수: 누적확률이 \dpi{100} p가 되는 표준정규분포 분위수
    \dpi{100} z_p = \Phi ^{-1} (p) = \{y | \Phi(y) = p\}

모멘트생성함수

\dpi{100} m_z(t) = E(e^{tZ}) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{e^{tZ}}{\sqrt{2\pi}}e^{-z^2/2}dz\\ ~~~~~ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= \int _{-\infty}^{\infty } \frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp[-\frac{1}{2}(z^2 - 2tz + t^2)+ \frac{t^2}{2}]dz\\ ~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~= exp(\frac{t^2}{2})\int_{-\infty}^{\infty}\frac{1}{\sqrt{2\pi}}exp[-\frac{1}{2}(z-t)^2]dz = exp(\frac{t^2}{2})

 

정규분포의 가법성

\dpi{100} X \sim N(\mu_1, \sigma_1^2), ~ Y \sim N(\mu_2, \sigma_2^2) 이고 \dpi{100} X와 \dpi{100} Y가 독립이면,  \dpi{100} X+Y \sim N(\mu_1 + \mu_2, ~\sigma_1^2 + \sigma_2^2)이다.
즉, 독립적으로 정규분포를 따르는 확률변수들의 합은 또 다른 정규분포를 따른다.

 

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