1. DT System

1) DT System의 개념

$ x[n] \rightarrow T(*) \rightarrow y[n] $

$ h[n] $ : impulse-response (입력-출력 관계로 유추 가능, System을 대변)

DT System의 예

복리 원리 계산

$ y[n] = (1+r)y[n-1] + x[n] $
$ \Longleftrightarrow y[n] – ay[n-1] = x[n], ~~ (a=1+r) $

일년 평균 계산

$ y[n] = \frac{1}{12} \sum_{k=0}^{11}x[n-k] $

$ \Longleftrightarrow y[n] = \sum_{k=0}^{11} b_k x[n-k] $

cf. Differential Eq. vs Difference Eq.

Differential Eq. 미분방정식 $ y(t) + ay`(t) = x(t) $
Difference Eq.(DE) 차분방정식 $ y[n] + ay[n-1] = x[n] $

2) DT System의 유형 분류

(1) Linear System

Linear system 선형조합

$ T\{\alpha x_1[n] + \beta x_2[n] \} = \alpha T\{ x_1[n] \} + \beta T \{x_2[n] \} = \alpha y_1[n] + \beta y_2[n] $

• DE의 coef.들이 LCC(Linear constant coef.)이면 linear하다.

(2) Time Invariant System (TI)

Time invariant: 시간이 지나도 변하지 않는다.

$ T\{x[n-n_0]\} = y[n-n_0] $

example

(a) $ y[n] = 0.5 x[n] $ TI
(b) $ y[n] = nx[n] +x[n-1] $ TV $ n $ 이 변하기 때문
(c) $ y[n] – (0.8)^n y[n-1] = 2x[n] $ TV

(3) Causal System

입력에 의해서만 출력이 결정된다는 의미. 땅에 발을 구르기 전에는 발 구르는 소리가 나지 않는다. 하지만 인간이라면(Non-causal) 발을 구르기 전 발 구르는 소리가 날 것이라고 예측하며 미리 움찔한다.

$ (1) x[n] = 0 \forall n \leq n_0 $ 이면 $ y[n]=0 ~~ \forall n \leq n_0 $
$ h[n] = 0 for n<0 $

example

(a) $ y[n] = 3x[n] + 1 $ causal
(b) $ y[n] = 3x[n+1] $ non-causal
(c) $ y[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty} (0.2)^k x[n-k] $ non-causal

(4) BIBO Stable System

BIBO란 Bounded input bounded output 을 뜻한다. 경계가 정해진 System을 말한다. 예를 들어 굉장히 큰 태풍은 우리가 가정할 수 있는 상황에서 제외한다. 바람에 흔들리는 다리를 건설함에 있어 어느 정도의(측량할 수 있을 정도의) 바람을 염두에 두고 건설한다. 한계를 정해놓은 System이다.

$ |x[n]| \leq B_x < \infty $이면, $ |y[n]| \leq B_y < \infty for all n $

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Conclusion

쉽게 이야기해서 Linear, TI, Causal, BIBO System이 가장 중요하고 많이 다루어진다.

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2. DT System in Time Domain

1) 차분방정식(Difference Equation, DE)

DT LTI System은 DE로 표현된다.

$ \sum_{k=0}^{N}{ak} = \sum{k=0}^{N}{b_k x[n-k]} , (n \geq 0) $

$ y[-1] = y_1, ~y[-2] = y_2, \cdots, y[-N] = y_N ~~~ initial ~~ condition $

2) Impulse Response

$ h[n] = T\{\delta[n]\} $

• FIR : Finite-duration Impulse Response
• IIR : Infinite-duration Impulse Response

Output by the impulse response

$ y[n] = x[n]*h[n] = \sum_{k=-\infty}^{\infty}x[k]h[n-k] $ convolution sum

3. 균일해, 특수해를 통한 일반해 구하기

균일해와 특수해의 합으로 일반해를 구할 수 있다.

1) 균일해(homogenous solution) $ y_h[n] $

$ let~~ x = 0 $
$ \sum_{k=0}^{N} a_ky_h[n-k] = 0 $

Trial homogenous solution

$ y_h[n] = \alpha^n $

Characteristic equation

$ \sum_{k=0}^{N} a_k \alpha^{-k} = 0 $

2) 특수해(particular solution) $ y_p[n] $

초기조건을 제외한 방정식의 해 $ \sum_{k=0}^N a_kyp[n-k] = \sum{k=0}^M b_kx[n-k] $

입력신호 형태 별 trial 특수해 형태

입력 신호 형태	특수해의 형태
$ 1 $	$ A $
$ n $	$ An + B $
$ n^2 $	$ An^2 + Bn + C $
$ \beta^2 $	$ A\beta^n $
$ cos (n) ~ or ~ sin (n) $	$ Acos (n) + B sin (n) $

Question 01

$ y[n] – 0.2y[n-1] = x[n] $
$ y[-1] = -1 $ : initial condition ~ (stored energy)

균일해

$ let ~ y[n] = \alpha^n $
$ \alpha^n – 0.2 \alpha^{n-1} = 0 $
$ \alpha = 0.2 $
$ y_h[n] = C*0.2^n $ (미지수 이용)

특수해

$ let~y_p(n) = A[n] $ > 1차 trial

특수해를 구할 때는 시간이 충분히 흘렀을 때를 가정

$ A – 0.2A = 0 $
$ A = 0 ~ (\delta[n]=0 ~ if~n \neq 0 $

$ y_h[n] = C(0.2)^n $
$ y_p[n] = 0 $

일반해

이제 initial condition 고려 * $ (n=0) $
$ y[0] – 0.2 y[-1] = 1 $
$ y[0] = 0.8 $
$ y[n] = C(0.2)^n $ 이므로 $ c=0.8 $
$ y[n] = 0.8(-0.2)^n $

Question 02

$ y[n] – \frac56 y[n-1] + \frac16 y[n-2] = x[n] $
$ y[-1] = 1, ~ y[-2] = 0 $

균일해

$ \alpha^n – \frac56 \alpha^{n-1} + \frac16 \alpha^{n-2} = 0 $
$ \alpha = \frac12, \frac13 $
$ y_h[n] = c_1 (\frac12)^n + c_2 (\frac13)^n $

특수해

$ x[n]=1, n \geq 0 $
$y_p[n]-\frac56y_p[n-1]+\frac16y_p[n-2]=1$
$Let~y_p(n)=A, ~then~A-\frac56 A+\frac16 A = 1 $
$ \therefore y_p[n]=3 $

일반해

$ y[n] = y_h[n] + y_p[n] + ~initial~condition $
$ y_h[n] = c_1(\frac12)^n + c_2 (\frac13)^n$
$ y_p[n] = 3 ~ (n\geq 2) $
$ \therefore ~ y[n] = c_1(\frac12)^n + c_2 (\frac13)^n + 3 $
단, 위의 식은 $ n \geq 2 $ 일때만 만족하므로 초기조건을 바로 이용할 수 없다.
원식을 통해서 $ y(0) $을 구해준 후 대입

Question 03

$ y(n) – \frac56 y(n-1) + \frac 16 y(n-2) = \delta(n) $

Solution 03

$ h(n) = c_1 (\frac12)^n + c_2 (\frac13)^n + 0 + ICs ~ (n \geq 0) $
여기서 $h(n)$ 은 impulse response 이다. input 함수가 delta function인 경우 특수해는 무조건 0 이 된다. 또한 $ n < 0 $ 에서는 에너지가 없는 상태이므로 초기조건 $ y(-1) = 1,~y(-2) = 0 $ 을 $ h(-1) = 0, ~ h(-2) = 0 $ 라고 쓸 수 있다.

$ h(0) = \frac56 h(-1) – \frac16 h(-2) + \delta(0) = 1 $
$ h(1) = \frac56 h(0) – \frac16 h(-1) + \delta(1) = \frac56 $
$ therefore c_1=3, ~ c_2 = -2 $
$ h(n) = [3(\frac12)^n – 2(\frac12)^n]u(n) $