1. 정현파 함수

1) DT 푸리에 해석을 위한 DT 정현파 함수

CT 정현파

\Phi(t) = cos\omega_0t = cos2\pi f_0 t

• 주파수: \omega_0 ~ [rad/sec] 또는 f_0 [Hz]
• 주기: T_0 = 2\pi\omega_0 [sec]

샘플링

주기 T_0 동안 정수 N 개의 샘플을 취함

• 샘플링 주기(간격): \delta t = T_s = T_0 / N
• 샘플링 주파수: f_s = 1/T_s ~ [Hz]

DT 정현파

\Phi[n] = [cos\omega_0 t] _{t=nT_s} = cos \omega_0 n T_z = cos 2\pi f_0 n T_s

• 주기 N: \Phi[n+N] = cos(\omega_0 (n+N) T_s) = cos(\omega_0 n T_s + \omega_0 N (T_0 / N))
= cos(\omega_0 n T_s + 2\pi) = cos(\omega_0 n T_s) = \Phi [n]
  DT 푸리에 해석을 위한 기저함수로 사용

2) DT 주파수와 DT 정현파

DT 주파수 정의

\Omega = \omega T_s = \omega / f_s
F = f T_s = f/f_s

• 정규화 주파수: The normalized frequency by f_s
  • sampling 주파수 f_s의 몇 배인지…
• 단위 없음

DT 정현파

\Phi[n] = cos \Omega_0 n = cos 2\pi F_0 n

cf. CT 주파수

\omega = 2\pi f [rad/sec]
sampling by f_s
\Omega = 2\pi F = 2\pi frac{f}{f_s}

3) DT 복소 지수 함수

CT 복소 지수함수와 DT 복소 지수함수의 관계

\Phi (t) = exp(j \omega_0 t) = exp(j \omega_0 (t + T_0)) \Rightarrow \Phi [n] = exp(j \Omega_0 n) = exp(j \Omega_0 (n+N))
by sampling with T_0/T_s = N

여기서 \Omega_0 은 \frac {2\pi}{N} (2\pi를 N등분) 을 뜻한다.

2. Fourier Series

1) CT신호

주기 T_0의 CT 신호 x(t)
시간영역: x(t) = \sum\limits_k= c_k e^{kj\omega_0t} = \sum c_k e^{k2\pi k t / T_0}
주파수 영역: c_k = < x(t),~e^{jkw_0t} > (내적)
\frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0} x(t) e^{-jk\omega_0t}dt = \frac{1}{T_0} \int_{0}^{T_0}x(t)e^{-j2\pi k t/T_0} dt
\because \omega_0 T_0 = 2\pi – fundamental frequency

2) DT신호

주기 N의 DT신호 x[n]의 DFTS
시간영역: x[n] = \sum\limits_{k=0}^{N-1} c_k e^{jk\Omega_0 n} = \sum\limits _{k=0}^{N-1} c_k e^{j2\pi k n/N}
주파수영역: c_k = < x[n], e^{jk\Omega_0 n} > (내적)
\frac{1}{N} \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-jk\Omega_0 n} = \frac1N \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n] e^{-j2\pi k n /N}
\because \Omega_0 = 2\pi / N – fundamental frequency

정리

• CT 신호
  • 시간 : Periodic
  • 주파수 : Aperiodic
• DT 신호
  • 시간: Periodic
  • 주파수: Aperiodic

3) DTFS 계수

c_k = \frac1N \sum\limits_{n=0}{N-1}x[n]e^{=jk\Omega_0n} = \frac1N \sum\limits_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}
c_k는 복소수이므로 크기(amplitude)와 위상(phase)를 가진다.

• c_k = |c_k| e^{j \angle k}

또한 주기성이 존재한다.
c_{k+N} = c_k
c_{k+N} = \frac1N\sum\limits_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j(k+N)\Omega_0 n} = \frac1N \sum\limits_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j(k+N)\frac{2\pi}{N}n} = \frac1N \sum\limits_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-jk\frac{2\pi}{N}n}e^{-jN\frac{2\pi}{N}n} = \frac1N \sum\limits_{n=0}^{N-1}x[n]e^{=jk\frac{2\pi}{N}n} = c_k

Example

c_k = = \frac1N \sum\limits_{n=0}^{N-1} x(n)e^{-jk\Omega_0n}

1) if~ k=0 :
c_0 = \frac1N \sum\limits_{(N)} x(n) = \frac 1N \sum\limits_{n=-L}^{L} (1) = \frac{2L+1}{N}

이러한 경우를 DC 성분(d.c value)이라고 한다.

2) k \neq 0 :
c_k = \frac1N \sum\limits_{(N)}^{} x(n)e^{-jk\Omega_0 n} = \frac1N \sum\limits_{n=-L}^{L} e^{-jk\Omega_0 n} = \frac1N \frac{e^{jk\Omega_0 L (1-e^{-jk\Omega_0(2L+1)})}}{1-e^{-jk\Omega_0}} = \frac1N \frac{e^{jk\Omega_0L} - e^{jk\Omega_0L}e^{-jk\Omega_0}}{1-e^{-jk\Omega_0}} = \frac1N \frac{ e^{-j \frac{k}{2} \Omega_0} (e^{j\frac{k}{2} (2L+1) - e^{-j\frac{k\Omega_0}{2}(2L+1)}})}{e^{-j\frac{k}{2}\Omega_0} (e^{j\frac{k}{2}\Omega_0} - e^{-j\frac{k}{2} \Omega_0})}
오일러 공식에 의해 sin\theta = \frac{e^{j\theta}-e^{-j\theta}}{2j}이므로
= \frac1N \frac{sin(\frac{k\Omega_0}{2}(2L+1))}{sin(\frac{k\Omega_0}{2})}

다양한 DTFS 그래프

L=3,~ N=10

L=3,~ N=20

L=3,~ N=30

• 이런 경우 pulse train의 pulse 값이 6개

L=2,~ N=30

• 이런 경우 pulse train의 pulse 값이 4개

정리

x(n) = \begin{cases} \ 1 ~~~ (-L \leq n \leq L) \\ \ 0 ~~~ (otherwise) \end{cases}

c_0 = \frac{2L+1}{N}

c_k = \frac1N \frac{sin(\frac{k\Omega_0}{2}(2L+1))}{sin(\frac{k\Omega_0}{2})}

그 외

1)
x(n) =\begin{cases} \ 1~~ (0 \leq n \leq N-1) \\ \ \end{cases}
c_0 = 1
c_k = 0

2)
x(n) =\begin{cases} \ 1~~ (0 \leq n \leq N-1) \\ \ 0~~ (otherwise) \end{cases}
c_0 = \frac1N
c_k = \frac1N