Fourier Transform (FT)

이전까지 다룬 Fourier Series는 주기적인 신호에서의 sampling 때 사용되었다. 반면 FT는 비주기적인 경우 사용된다.

DTFS
Discrete time periodic signal \longrightarrow Discrete time Fourier Series

CAPD
① C \leftrightarrow Aperiodic
② D \leftrightarrow Periodic

Example
DP \rightarrow DTFS [DP]
CP \rightarrow CTFS [DA]

FT 에서도 마찬가지이다.
DA \rightarrow DTFT [CP]

1. 주기신호와 비주기신호

CT 신호

c_k = \frac{1}{T_0} \int\limits_{} x(t) e^{-jk\omega_0 t} dt 일 때
T_0 \rightarrow \infty ~, k\omega_0 \rightarrow \omega 는 pulse 사이 간격이 없는 경우, 즉 주기가 없는 경우를 나타내므로
X(\omega) = \lim\limits_{T_0 \rightarrow \infty} T_0 c_k = \int\limits_{=\infty}^{\infty} x(t)e^{-j\omega t} dt
로 바뀌게 된다.
앞식은 CT 신호의 CTFS, 뒷 식은 CT 신호의 CTFT 이다.

DT 신호

c_k = \frac1N \sum\limits_{n= < N > }^{} x[n]e^{-jk\Omega_0 n} 일 때
N \rightarrow \infty,~k\Omega_0 \rightarrow \Omega 라고 한다면
X(\Omega) = \lim\limits_{n\rightarrow \infty} Nc_k = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n}

2. DTFT와 IDTFT

DTFT

X(\Omega) = F\{x[n]\} = \sum\limits_{n=\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n}
X(\Omega + 2\pi) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j(\Omega + 2\pi)n} = \sum\limits_{n=\infty}^{\infty} x[n] (e^{-j\Omega n} + e^{-j2\pi n}) = X(\Omega) ???

IDTFT (Inverse)

x[n] = F^{-1} \{x[n]\} = \int\limits_{< 2\pi >} X(\Omega)e^{j\Omega n} \frac{d\Omega}{2\pi} = \int\limits_{0}{1} X(2\pi F) e^{j2\pi Fn} df
\because \Omega = 2 \pi F,~d\Omega = 2\pi dF

cf. 시간 영역에서의 내적

< x(n) , ~ e^{j\Omega n} > =\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n}

공간 영역에서 \overrightarrow {A} 라는 벡터 속에 A_x 성분이 얼마나 들어있는지 알아보기 위해 < \overrightarrow {A},~ \overrightarrow{a_x} > = \overrightarrow{A} * \overrightarrow{a_x} 를 계산 하듯이 x(n) 이라는 신호 속에 e^{j\Omega n} 라는 주파수가 얼마나 들어있는지에 대한 시간 영역에서의 내적이라고 생각하면 된다.

Example : Rectuangular pulse with pulse width (2L+1)

i) For \Omega = 0
X(\Omega) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n}
X(0) = \sum\limits_{n=\infty}^{\infty} x[n] e^0 = \sum\limits_{n=-L}^{L}(1) = 2L+1

ii) For \Omega \neq 0
X(\Omega) = \sum\limits_{-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n} = \sum\limits_{n=-L}^{L}(1) e^{j\Omega n} = \frac{e^{j\Omega (2L+1)/2} - e^{-j\Omega(2L+1)/2}}{e^{j\Omega /2} - e^{-j\Omega/2}} = \frac{sin (\frac{\Omega}{2} (2L+1))}{sin(\frac{\Omega}{2})}

iii) 로피탈 정리에 의해
\lim\limits_{\Omega \rightarrow 0} \frac{sin(\frac{\Omega}{2} (2L+1))}{sin(\frac{\Omega}{2})} = 2L + 1

con)
\therefore X(\Omega) = \frac{sin(\frac{\Omega}{2} (2L+1))}{sin(\frac{\Omega}{2})}