z변환

1. Introduction

CT 시스템 해석

CTFT: 주파수 영역 해석

• 한계: 불안정 시스템은 주파수 응답이 존재하지 않을 수도 있다.
  Laplace Transform(LT): s 영역 해석 s= \sigma+jw
• 존재조건: s값에 의해 LT 존재 조건의 확대
• 불안정 시스템 포함 해석 가능
  

  DT 시스템 해석

  DTFT: 주파수 영역 해석

• 한계: 불안정 시스템은 주파수 응답이 존재하지 않을 수도 있다.
  z-Transform(zT): z영역 해석 z = re^{j\Omega}
• 존재조건: z값에 의해 zT 존재 조건의 확대
• 불안정 시스템 포함 해석 가능
  

  요약

  단위원 1* e^{j\Omega} 에서만 해석하던 것을 모든 복소평면 r*e^{j\Omega} 으로 확장하는 것

2. z-Transform

정의

X(z) = < x(n), z > = < x(n), r e^{j\Omega n} > = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{*} = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}

양방향

X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n]z^{-n}

단방향

X^*(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} x[n] z^{-n}

수렴 영역(ROC, Region of Convergence)

z변환이 존재하는 복소평면에서의 z영역

• 서로 다른 신호가 똑같은 형태로 표현될 수 있다.
• 이를 ROC로 구분할 수 있다.

3. DTFT와 zT의 관계

DTFT X(\Omega) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{j\Omega n}

• x[n] 에 따라 위의 sum이 유한 값으로 수렴하지 않을 수 있다.
• x[n]r^{n}이 absolutely summable 하면 x[n]r^n의 DTFT가 존재함

x[n]r^n의 DTFT = x[n]의 zT

F[x[n]r^{-n}] = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n]r^{-n}e^{-j\Omega n} = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] (re^{j\Omega})^{-n} = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] z^{-n} = Z\{x[n]\} = X(z), ~ z=re^{j\Omega}
여기서 zT의 ROC가 |z| = r = 1를 포함하는 경우 DTFT가 존재한다.

Example 01

x[n] = 0.5^n u[n]
X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} 0.5^n u[n] z^{-n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (0.5 z^{-1})^n = \frac{1}{1-0.5 z^{-1}}
등비수열의 합이 존재할 조건이 ROC이다.
|0.5 z^{-1} | = 0.5|z^{-1} | < 1
\therefore ROC: 0.5 < |z|

zT의 ROC가 |z|=r=1를 포함하므로 DTFT 존재

Example 02

x[n] = u[n]
X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} u[n] z^{-n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (z^{-1})^n = \frac{1}{1-z^{-1}} = \frac {z}{z-1} ROC: 1<|z|

Example 03

x[n] = \delta[n]
X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n]z^{-n} = 1
ROC: entire z plane(ezp), 모든 용역에서 zT가 존재

Example 04

x[n] = \delta[n-m]
X(z) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} \delta[n-m]z^{-n} = z^{-m}
ROC
\begin {cases} m>0, z \neq 0 \\ m<0 z\neq \infty \end{cases}

Example 05

x[n] = \{ 1,2,3,4,5\}
X(z) = 1+2z{-1}+3z^{-2} + 4z^{-3} + 5z^{-4}
ROC: ezp except z=0

Example 06

x_1[n] = a^n u[n] = \begin{cases} a^n~~n \geq 0 \\ 0 ~~~~ n<0 \end{cases}
X_1(z) = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n = \frac{1}{1-az^{-1}} = \frac{z}{z-a},~~ ROC: ~ a < |z|
x_2[n] = -a^n u[-n-1] = \begin{cases} -a^n ~~~~ n<0 \\ 0 ~~~~~~~ n \geq 0 \end{cases}
X_2 (z) = - \sum\limits_{n=-\infty}^{-1} (az^{-1})^n = - \sum\limits_{n=1}^{\infty} (a^{-1}z)^n = - \frac{a^{-1}z} {1-a^{-1}z} = \frac{z}{z-a}, ~~ ROC: ~ |z| < a
동일한 zT의 경우 ROC로 구별 가능
역변환 시 X(z)~with~ROC 로 유일한 x[n] 결정

무한 길이 인과신호(우측 신호)의 경우 극점(poles)이 단위원(|z|=r=1) 내부에 있는 경우 DTFT가 존재

무한 길이 좌측 신호의 경우 극점(poles)이 단위원(|z|=r=1) 외부에 있는 경우 DTFT가 존재

유한 길이 신호의 경우 항상 zT 존재

• 단, ROC: ezp except z=0 and/or z=\infty
• ROC는 항상 단위원을 포함하여 항상 DTFT가 존재한다.