모멘트생성함수(적률생성함수, moment generating function, mgf)

모멘트생성함수1

k차 모멘트

일반적으로 E(X^r)을 확률변수 X의 r차 모멘트라고 하며 E[(X-\mu)^r] 을 r차 중심모멘트라고 한다.

  • 1차 모멘트: 기댓값
  • 2차 중심모멘트: 분산
  • 3차 중심모멘트: 왜도(skewness, 확률분포의 치우침을 나타냄)
  • 4차 중심모멘트: 첨도(kurtosis, 확률분포 꼬리부근의 밀집도를 나타냄)

모멘트생성함수

이러한 모멘트를 쉽게 계산할 수 있도록 고안된 함수를 모멘트생성함수라 한다. 만약 확률변수 X와 Y의 모멘트생성함수가 같다면, X와 Y는 동일한 확률분포를 따른다.

m(x) = E(e^{tX})

* 새로운 확률변수의 확률분포함수를 구하는 방법을 모멘트생성함수법이라 한다.

다음과 같이 매개변수 t에 대해 미분한 후 0을 대입하면 일정한 패턴을 얻게 된다.

m'(t) = \frac{dE(e^{tX})}{dt} = E(Xe^{tX}) \Rightarrow m'(0) = E(Xe^0) = E(X)

m''(t) = \frac{E(Xe^{tX})}{dt}= E(X^2e^{tX})\Rightarrow m''(0) = E(X^2)e^0 = E(X^2)

1.
임태진. R-확률통계. 생능출판사; 2016.

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