카이제곱분포, t-분포, F-분포

카이제곱분포

표준정규분포를 따르는 확률표본을 제곱해서 합한 확률변수의 분포

표준정규모집단으로부터 추출된 확률표본을 $\dpi{100} Z_1, Z_2, \cdots, Z_n$ 이라 하면, $\dpi{100} \sum Z_i^2$ 는 자유도가 $\dpi{100} n$ 인 카이제곱분포를 따른다.

#카이제곱분포의 확률밀도함수(df: 자유도, ncp: 비중심모수(사용하지 않음))
dchisq(x, df, ncp = 0)
#카이제곱분포의 누적분포함수 F(x)
pchisq(x, df, ncp = 0, lower.tail=T)
#카이제곱분포의 분위수(p: 누적확률)
qchisq(p, df, ncp = 0, lower.tail = T)
#카이제곱분포의 확률변수(n: 난수의 개수)
rchisq(n, df, ncp = 0)

자유도가 $\dpi{100} \nu$ 인 카이제곱분포를 따르는 확률변수 $\dpi{100} X$ 의 확률밀도함수는 다음과 같다.

$\dpi{100} f(x) = \frac{1}{2^{\nu/2}\Gamma(\nu/2)}x^{\nu/2 - 1} e^{-x/2},~ x>0$

감마분포의 확률밀도함수와 비교해보면, 카이제곱분포는 $\dpi{100} \alpha = \nu/2,~\theta = 2$ 인 감마분포와 같음을 알 수 있다.

$\dpi{100} m(t) = (1-2t)^{-\nu/2}$

$\dpi{100} E(X) = (\nu/2)\times 2 = \nu$

$\dpi{100} V(X) = (\nu/2)\times 2^2 = 2\nu$

* 자유도(degree of freedom)

제곱합에 포함되는 ‘독립적인 항의 개수’를 의미
겉으로 보기에는 $\dpi{100} n$ 개 항의 제곱합이라도 독립적인 항의 개수가 $\dpi{100} n-k$ 개라면, 자유도는 $\dpi{100} n-k$ 가 된다.

t-분포

표준정규분포를 따르는 확률분포를 $\dpi{100} Z$ 라 하고, $\dpi{100} Z$ 와는 독립적으로 자유도 $\dpi{100} \nu$ 인 카이제곱 분포를 따르는 확률변수를 $\dpi{100} Y$ 라 하면, 확률변수 $\dpi{100} T=\frac{Z}{\sqrt{Y/\nu}}$ 는 자유도 $\dpi{100} \nu$ 인 t-분포를 따른다.

#t-분포의 확률밀도함수 f(x) (df: 자유도, ncp: 비중심모수(사용하지않음))
dt(x, df, ncp)
#t-분포의 누적분포함수 F(x)
pt(x, df, ncp, lower.tail = T)
#t-분포의 분위수(p: 누적확률)
qt(p, df, ncp, lower.tail = T)
#t-분포의 확률변수(n: 난수의 개수)
rt(n, df, ncp)

F-분포

카이제곱분포를 따르며 독립적인 두 개의 확률변수를 각각의 자유도로 나누어 비율을 취하면 F-분포를 따른다. 즉, 자유도가 $\dpi{100} \nu_1$ 과 $\dpi{100} \nu_2$ 인 카이제곱분포를 따르며 독립적인 확률변수를 각각 $\dpi{100} U$ 와 $\dpi{100} V$ 라 하면,

$\dpi{100} F = \frac{U/\nu_1}{V/\nu_2} \sim F(\nu_1, \nu_2)$

#F-분포의 확률밀도함수(df, df2: 자유도, ncp: 비중심모수(사용하지 않음))
df(x, df1, df2, ncp)
#F=분포의 누적분포함수 F(x)
pf(x, df1, df2, ncp, lower.tail = T)
#F-분포의 분위수 (p: 누적확률)
qf(p, df1, df2, ncp, lower.tail = T)
#F-분포의 확률변수 (n: 난수의 개수)
rf(n, df1, df2, ncp)

F-분포는 분자의 자유도 $\dpi{100} \nu_1$ 과 분모의 자유도 $\dpi{100} \nu_2$ 를 갖는다. 분자와 분모를 바꾸면 자유도의 순서도 바뀌게 된다. F-분포의 분위수를 $\dpi{100} F_{p;(\nu_1, \nu_2)}$ 라 하면, 이는 누적확률이 $\dpi{100} p$ 가 되는 값을 의미한다. 분모와 분자를 바꾸면 대칭성에 의하여 꼬리확률이 누적확률이 되므로 다음 식이 성립한다.