모멘트생성함수¹

k차 모멘트

일반적으로 $E(X^r)$ 을 확률변수 X의 r차 모멘트라고 하며 $E[(X-\mu)^r]$ 을 r차 중심모멘트라고 한다.

이러한 모멘트를 쉽게 계산할 수 있도록 고안된 함수를 모멘트생성함수라 한다. 만약 확률변수 X와 Y의 모멘트생성함수가 같다면, X와 Y는 동일한 확률분포를 따른다.

$m(x) = E(e^{tX})$

* 새로운 확률변수의 확률분포함수를 구하는 방법을 모멘트생성함수법이라 한다.

다음과 같이 매개변수 t에 대해 미분한 후 0을 대입하면 일정한 패턴을 얻게 된다.

$m'(t) = \frac{dE(e^{tX})}{dt} = E(Xe^{tX}) \Rightarrow m'(0) = E(Xe^0) = E(X)$

$m''(t) = \frac{E(Xe^{tX})}{dt}= E(X^2e^{tX})\Rightarrow m''(0) = E(X^2)e^0 = E(X^2)$

임태진. R-확률통계. 생능출판사; 2016.