DTFT (2)

1) DTFT의 성질

Periodicity

X(\Omega + 2\pi) = X(\Omega)

Linearity

ax_1[n]+bx_2[n] \leftrightarrow aX_1(\Omega) + bX_2(\Omega)

Time shifting

x[n-n_0] \leftrightarrow e^{-j\Omega5_0}X(\Omega)

Frequency shifting

e^{\pm j \Omega_0 n} x[n] \leftrightarrow X(\Omega \mp \Omega_0)

Symmetry

x^{*}[n] \leftrightarrow X^*(-\Omega)
magnitude: |X(\Omega)| = |X(-\Omega)|
phase: argX(\Omega) = -argX(-\Omega)

Convolution

h[n] * x[n] \leftrightarrow H(\Omega)X(\Omega)

2) Parseval’s theorem

에너지 정보를 시간 영역과 주파수 영역에서 다룰 때 영역에 따른 차이가 없다.
시간에 대한 에너지 정보: \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2
주파수에 대한 에너지 정보: \int _{-\pi}^{pi} |X(\Omega)|^2 \frac{d\Omega}{2\pi}

증명
\sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} |x[n]|^2 = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n]x^{*}[n] = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \{ \int_{-\pi}^{\pi} X(\Omega)e^{j\Omega n} \frac{d\Omega}{2\pi} \}^{*} = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] \{ \int_{-\pi}^{\pi} X^{*}(\Omega)e^{-j\Omega n} \frac{d\Omega}{2\pi} \} = \int_{-\pi}^{\pi} X^{*}(\Omega) \{ \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n} \} \frac{d\Omega}{2\pi} = \int_{-\pi}^{\pi} X^{*}(\Omega) X(\Omega) \frac{d \Omega} {2\pi} = \int_{-\pi}^{\pi} |X(\Omega)|^2 \frac{d\Omega}{2\pi}

3) 주파수 응답과 LTI 시스템의 해석

Frequency response(주파수 응답)

impulse response에 대한 Fourier Transformation
H(\Omega) = F[h[n]] = \frac{Y(\Omega)}{X(\Omega)}
H(\Omega) = |H(\Omega)| e^{j argH(\Omega)}

LTI system

y(n) = h(n) * x(n) 에서 FT를 하면
Y(\Omega) = H(\Omega) X(\Omega)가 되고 이를 magnitude와 phase로 나타낼 수 있다.
Y(\Omega) = |Y(\Omega)|e^{j arg Y(\Omega)} = |H(\Omega)||X(\Omega)|e^{j[argH(\Omega)+ argX(\Omega)]}
즉, 정리하면
|Y(\Omega)| = |H(\Omega)||X(\Omega)|
arg(Y(\Omega)) = argH(\Omega) + argX(\Omega)

Example

h[n] = (\frac12) ^n u[n], ~ x[n] = (-\frac13)^n u[n]

Solution

H(\Omega) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} h[n]e^{-j\Omega n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac12)^n e^{=j\Omega n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (\frac12 e^{-j\Omega})^n = \frac{1}{1-\frac12 e^{-j\Omega}}
X(\Omega) = \sum\limits_{n=-\infty}^{\infty} x[n] e^{-j\Omega n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-\frac13)^n e^{-j\Omega n} = \sum\limits_{n=0}^{\infty} (-\frac13 e^{-j\Omega})^n = \frac{1}{1+\frac13 e^{-j\Omega}}
\therefore Y(\Omega) = H(\Omega)X(\Omega) = \frac{1}{(1-\frac12 e^{-j\Omega})(1 + \frac13 e^{-j\Omega})}
이를 z=e^{-j\Omega}로 치환하여 구해보면
Y(\Omega) = \frac{\frac35}{1-\frac12 e^{-j\Omega}} + \frac{\frac25}{1+\frac13 e^{-j\Omega}}

Lowpass Filter

Lowpass filter란 특정 주파수(\Omega_c) 이하의 주파수는 pass, 그보다 높은 주파수는 block 시키는 filter이다.
H_L(\Omega) = \begin{cases} 1 ~~ (0 \leq |\Omega| < \Omega_c) \\ 0 ~~ \Omega_c < |\Omega| < -\pi , ~ -\pi \leq \Omega \leq \pi \end{cases}

임펄스 응답함수

h_L[n] = \int_{-\pi}^{\pi} H_L(\Omega)e^{j\Omega n} \frac{d\Omega}{2\pi} = \int_{-\Omega_c}^{\Omega_c} e^{j\Omega n} \frac{d\Omega}{2\pi} = \frac{1}{2\pi} \frac{1}{2\pi} [e^{j\Omega n}]_{-\Omega_c}^{\Omega_c} = \frac{sin\Omega_c n}{\pi n}